ckotinko (ckotinko) wrote,
ckotinko
ckotinko

Category:

О кривых пространствах

     * * * предыдущая часть * * *

     В обсуждении предыдущей части возник спор о том, что такое кривизна пространства, и как кривое пространство вообще выглядит:

     Координаты - это просто однозначное сопоставление каждой точке набора чисел (координат) - для этого никаких "осей" заранее не надо. Скажем - возьмите для данной точки ее расстояния до трех фиксированных точек - вот вам и координаты. С углами тоже путаница: в любом нормальном пространстве (многообразии; скажем на сфере) "полный" угол всегда 2π - достаточно понять, что такое угол (то что он определяется "в точке", т.е. для маленьких треугольников. А вот если брать большие треугольники - то сумма углов может быть не π - так, кстати и определяется кривизна - по "дефекту" углом треугольника).

     С этим я вынужден был не согласиться. Во первых, в пространстве нет координат. Направление из точки А на точку Б, расстояние между ними, углы как доля от полного оборота вокруг одной прямой - есть, их можно описать не прибегая к константам. Координаты же вводит наблюдатель, это - фиктивная сущность.

     Координаты, как и любую систему адресации, нельзя ввести наобум, любыми тремя величинами для произвольного 3х-мерного пространства. Для их введения, необходимо выработать формальные и непарадоксальные правила назначения координат, взятые не с потолка, а совместимые с свойствами пространства, в котором мы собираемся. К примеру, предложенный способ адресации плох тем, что уже в эвклидовом пространстве сопоставляет одинаковые координаты сразу двум точкам, симметричным относительно плоскости, задаваемой тремя базовыми точками. В искривлённом таких точек может стать еще больше.

     Не является критерием кривизны и возможность ввести криволинейную систему координат: ничто не мешает нам задать таковую и в эвклидовом пространстве.

     Во-вторых, мало ввести координаты - надо уметь их измерить. А провести перпендикуляр к оси в неэвклидовом пространстве нельзя. Следовательно, координаты вида x,y,z в таком пространстве неприменимы к реальным объектам. Таким образом, система адресации должна не только позволить адресовать точку, но и позволить измерить координаты объекта.

     В-третьих, я пока не видел примера действительно кривого пространства. Часто в качестве "кривого пространства" приводят пример поверхности сферы в трёхмерном эвклидовом пространстве. Действительно, на поверхности сферы можно изобразить треугольник с суммой углов больше 2π, и даже ввести криволинейные координаты, но делает ли это сферу примером реального кривого пространства? Сфера - это фигура, и она по прежнему находится в эвклидовом пространстве R3. Те свойства, что проявляются при уменьшении размера фигуры на поверхности сферы - это лишь следствие предельного перехода от фигуры в пространстве к плоскости в том-же самом пространстве.

     По сути, вся криволинейная геометрия оперирует не кривыми пространствами, а кривыми фигурами в прямых пространствах. Это не значит, что криволинейная геометрия - неправильная или бесполезная: кривые фигуры - это объективная реальность и для работы с ними необходим математический аппарат. Но кривое пространство, как мне кажется, должно изменять течение физических процессов не на больших расстояниях, а в каждой точке, где имеется кривизна, и единственный способ это сделать - изменять те геометрические параметры, которые определены в каждой точке.

     Впрочем, мы, по всей видимости, живём в прямолинейном пространстве. Те искривления, что наблюдаются вблизи массивных небесных тел, объясняются взаимодействием света с межзвёздным газом.

     Измерения кривизны пространства путем астрономических наблюдений также говорят нам, что наше пространство прямое, а здравый смысл - что отведённое нам время не бесконечно. Следовательно, имеет смысл оставить интересный вопрос о кривых пространствах в стороне, и впредь рассматривать лишь эвклидовы пространства.

* * * продолжение * * *

Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments